二分查找算法的时间复杂度计算(logN)

学习笔记 马富天 2019-08-10 20:25:24 19 5

【摘要】二分查找算法是对顺序查找算法的优化,二分查找算法的前提是数列是一个有序数列,递增或者递减,本文就回顾一下最基础的算法:二分查找算法,对于它的时间复杂度的计算进行一个温习(温故而知新)。

假设有一个递增长度为 n 数列:1,2,3,4,···,n,使用二分查找算法时,每一次查找都会排除掉 1/2 的元素(当然这里不一定是真正意义上的一半,比如 n 为偶数时),所以对于 n 个元素的情况是:

未开始二分剩余: n 个元素

第一次二分剩余: (n / 2) 个元素,取中间值,进行比较

第二次二分剩余: (n / 2 / 2) 个元素,取中间值,进行次比较

...

第 k 次二分剩余: (n / (2 ^ k)) 个元素,取中间值,进行比较

在最坏的情况下,也就是排除到只剩下最后一个元素的时候,中间值向下取整,进行比较,若值相同,则查找到;不同则未查找到,因此:

(n / (2 ^ k)) = 1 时为最坏情况,即最大查找次数(目标元素处于最边缘的情况):logN <= k <= logN + 1,去掉常数项,所以时间复杂度是O(logN),以下给出一个具体的小例子:

n = 8:1,2,3,4,5,6,7,8,假设查找的数是 s = 1.5,即在找不到的情况,最坏的情况:

第一次二分剩余: 4 个元素,对比值 4,1.5 < 4,在左半部分

第二次二分剩余: 2 个元素,对比值 2,1.5 < 2,在左半部分

第三次二分剩余: 1 个元素,对比值 1,1 ≠ 1.5,未查找到

一共进行了 3 个查找,k = log8 = 3,2^3 = 8。

由此,我们可以知道二分查找的最坏情况就是查找 logN 次。

以下给出一个可运行的 python 代码的二分程序:

  1. import math
  2. a = [1,2,3,4,5,6,7,8]
  3. n = 1.5
  4. def binary_search(alist,n):
  5.     
  6.     left = 0
  7.     right = len(alist) - 1
  8.     i = 1
  9.     while left <= right:
  10.         
  11.         print('第 %d 次查找' % i)
  12.         middle = left + math.floor((right - left) / 2) # 向下取整、向上取整都可以
  13.         # middle = left + math.ceil((right - left) / 2)
  14.         
  15.         if n == a[middle]:
  16.             return middle
  17.         if n < a[middle]:
  18.             right = middle - 1
  19.         else:
  20.             left = middle + 1
  21.         
  22.         i += 1
  23.         
  24.     return False
  25. binary_search(a,n)
  26. binary_search(a,2)

二分查找算法是比较简单的一种算法,但是一定要熟记原理,因为很有可能十个人写出来的代码,有 9 个是有 bug 的。

版权归 马富天PHP博客 所有

本文标题:《二分查找算法的时间复杂度计算(logN)》

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